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正方形と正三角形 (西大和学園中学 2010年)

公開日: : 三角形, 合同, 平行四辺形, 等積変形, 面積

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 下の図は、

正方形ABCD、正三角形ABE、CDFを

組み合わせたものです。

AFとDEの交点をG、BFとCEの交点をHとすると、

三角形BCGは正三角形になります。

AB=3cmのとき、四角形EGFHの面積を求めなさい。

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解答

まず、下の図1のように、

三角形ADFと三角形BCEは角ADF=角CBE なので、

合同な二等辺三角形です。

   

このことから、AFとCEが平行であることがわかります。

同様にDEとBFも平行です。

すなわち、四角形EGFHはひし形ということがわかります。

ここで、下の図2のように三角形BHE、CHFに注目します。

  

それぞれ等積変形すると、

三角形BHG,CHGと面積が等しくなり、

このことは、ひし形EGFHの面積が、

下の図3の黄色い部分と等しいことを示しています。

   

下の図4のように、

三角形EGH,FGHをそれぞれ等積変形して

三角形EBG,FCGと考えることと同じになります。

   

ここで、角EBG=角FCG=90度で、

BE=BG=CF=CG=3cmなので、

求める面積は3×3÷2×2=9c㎡ となります。

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