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立体のくりぬき(慶應義塾普通部 2010年、神戸女学院中学 2010年)

公開日: : 立体図形




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1辺1cmの立方体を125個はりあわせて、1辺5cmの立方体を

作り上げました。このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)下の図1の灰色の立方体の面から、反対側までまっすぐ

    くりぬくとき、残る立体の体積と表面積を求めなさい。

                     (慶應義塾普通部 2010年)

Pic_1313q

 (2)下の図2の灰色の立方体の面から、反対側までまっすぐ

    くりぬくとき、残る立体の体積と表面積を求めなさい。

                     (神戸女学院中学 2010年)

Pic_1314q

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(1)図1の立方体を上から1段目、2段目、3段目、4段目、5段目

として、輪切りにしていくと、下の図2のように、

Pic_1315a

1,3,5段目と、2,4段目の2種類に分けることができ、

それぞれの体積は、21c㎥、9c㎥ なので、図1の立体の体積は

21×3+9×2=81c㎥ です。

 

表面積は、まず表面に出ている面積は、下の図4の1段目ように

21c㎡(黄色い部分) の面が6面あります。また、灰色の部分は、

上下がなく、左右前後の4面あるので、4c㎡ です。

Pic_1316a

3段目、5段目の灰色の部分も、4c㎡ の表面積があります。

 

次に、2,4段目は、黄色い部分は完全に表面積がゼロで、

灰色の部分は、表面積が4c㎡ で、1つの段に12個あります。

 

よって、表面積の合計は、

21×6+4×(4×3(1,3,5段目)+12×2(2,4段目))

=126+144=270c㎡ となります。

 

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(2) (1)と同様に、上から1段目、2段目、3段目、4段目、5段目

とします。たとえば、2段目は下の図5のようになり、

Pic_1317a

体積は16c㎥ となります。

同様に3段目、4段目も体積が16c㎥ となるので、

立体の体積は、

25×2+16×3=98c㎥ です。

 

次に表面積は、下の図6のように表面積22c㎡ の

前後、左右面と、面積25c㎡ の上下面があります。

合計すると、22×4+25×2=138c㎡ です。

Pic_1318a_2

内部については、(1)と同様に穴について考えます。

2段目、3段目、4段目について、下の図7の黄色い部分は

表面積が上下面の2c㎡黒い部分は、上下の穴と接していて、

表面積が3面の3c㎡、灰色の部分は、表面積が4c㎡ です。

Pic_1319a

すると、2段目の表面積は、

4×6+3×2+2=32c㎡

3段目の表面積は、

4×4+3×4+2=30c㎡

4段目の表面積は、2段目と同じく32c㎡ です。

 

よって、立体の表面積の合計は、

138+32+30+32=232c㎡ となります。

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