立体のくりぬき（慶應義塾普通部 2010年、神戸女学院中学 2010年）
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立体図形
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１辺１ｃｍの立方体を１２５個はりあわせて、１辺５ｃｍの立方体を
作り上げました。このとき、次の問に答えなさい。
（１）下の図１の灰色の立方体の面から、反対側までまっすぐ
くりぬくとき、残る立体の体積と表面積を求めなさい。
（慶應義塾普通部 2010年）
（２）下の図２の灰色の立方体の面から、反対側までまっすぐ
くりぬくとき、残る立体の体積と表面積を求めなさい。
（神戸女学院中学 2010年）
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（１）図１の立方体を上から１段目、２段目、３段目、４段目、５段目
として、輪切りにしていくと、下の図２のように、
１，３，５段目と、２，４段目の２種類に分けることができ、
それぞれの体積は、２１ｃ㎥、９ｃ㎥ なので、図１の立体の体積は
２１×３＋９×２＝８１ｃ㎥ です。
表面積は、まず表面に出ている面積は、下の図４の１段目ように
２１ｃ㎡（黄色い部分） の面が６面あります。また、灰色の部分は、
上下がなく、左右前後の４面あるので、４ｃ㎡ です。
３段目、５段目の灰色の部分も、４ｃ㎡ の表面積があります。
次に、２，４段目は、黄色い部分は完全に表面積がゼロで、
灰色の部分は、表面積が４ｃ㎡ で、１つの段に１２個あります。
よって、表面積の合計は、
２１×６＋４×（４×３（１，３，５段目）＋１２×２（２，４段目））
＝１２６＋１４４＝２７０ｃ㎡ となります。
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（２） （１）と同様に、上から１段目、２段目、３段目、４段目、５段目
とします。たとえば、２段目は下の図５のようになり、
体積は１６ｃ㎥ となります。
同様に３段目、４段目も体積が１６ｃ㎥ となるので、
立体の体積は、
２５×２＋１６×３＝９８ｃ㎥ です。
次に表面積は、下の図６のように表面積２２ｃ㎡ の
前後、左右面と、面積２５ｃ㎡ の上下面があります。
合計すると、２２×４＋２５×２＝１３８ｃ㎡ です。
内部については、（１）と同様に穴について考えます。
２段目、３段目、４段目について、下の図７の黄色い部分は
表面積が上下面の２ｃ㎡、黒い部分は、上下の穴と接していて、
表面積が３面の３ｃ㎡、灰色の部分は、表面積が４ｃ㎡ です。
すると、２段目の表面積は、
４×６＋３×２＋２＝３２ｃ㎡
３段目の表面積は、
４×４＋３×４＋２＝３０ｃ㎡
４段目の表面積は、２段目と同じく３２ｃ㎡ です。
よって、立体の表面積の合計は、
１３８＋３２＋３０＋３２＝２３２ｃ㎡ となります。
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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）
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